Žabljak
Umjereno oblačno
11.9 °C
Pljevlja
Vedro
15.8 °C
Herceg Novi
Pretežno vedro
23.0 °C
Nikšić
Vedro
19.6 °C
Cetinje
Pretežno vedro
28.8 °C
Bar
Vedro
21.3 °C
Podgorica
Vedro
24.6 °C
Ulcinj
Vedro
21.3 °C
Kolašin
Malo oblačno
12.5 °C

Mimo glavnog toka

VEDSKA MATEMATIKA 20. 01. 2014. 08:00   >>  08:00 8

VEDSKA MATEMATIKA

K.Mišak: Kozmički digitron na dlanu

Na pomen matematike mnogi od nas će se namrštiti, prisjećajući se komplikovanih zadataka kojima su nam predavači te discipline zagorčavali školske dane. Nikad se nismo zapitali - da li je sve moglo biti jednostavnije? Zagovornici vedske matematike tvrde da jeste, jer postoji 16 sutri, ili sanskrtskih formula izraženih riječima, koje rješavaju sve poznate matematičke probleme, a lako su razumljive, primjenjive i pamtljive.

Je li moguće množiti višeznamenkaste brojeve u sekundi, napamet? Tko je za okladicu? …da je moguće i štoviše - lako izvedivo. Uz pomoć vedske matematike - mentalne jednolinijske aritmetike u kojoj nije potrebno ispuniti cijelu stranicu brojevima da bi se nešto izračunalo. Sve se može izračunati u jednoj liniji jer su svi  brojevi zamišljeni ispred očiju, kao na nekom nevidljivom unutarnjem kino-platnu, pa ćemo odgovor praktički vidjeti, a ne računati. To ne činimo pomoću lijeve strane mozga, već pomoću desne, koju koristimo za oblike.

Vedska matematika je ime dano drevnom sustavu matematike koji je između 1911. i 1918. Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884–1960) ponovno otkrio u Vedama. Prema njegovom istraživanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izraženih riječima. Primjerice, jedna od tih sutri je  «Okomito i poprijeko». Te formule opisuju način na koji um prirodno radi i zbog toga su od velike pomoći kod usmjeravanja učenika na odgovarajuće metode rješavanja.

Kod vedskog matematičkog sustava možda najviše zapanjuje njegova koherentnost, kako kaže Jain, australski učitelj vedske matematike. Umjesto zbrke nepovezanih tehnika, cijeli je sustav usklađen i ujedinjen. Opća metoda množenja lako se može obrnuti kako bi se dobilo dijeljenje u jednom redu, a jednostavna metoda kvadriranja može se obrnuti radi izračunavanja drugog korijena u jednom redu. Ta ujedinjavajuća kvaliteta pruža veliko zadovoljstvo; ona matematiku čini lakom i ugodnom te potiče inovacije.

«Teški» problemi ili ogromni računi često se mogu u tren oka riješiti pomoću vedske metode. Te zapanjujuće metode samo su dio kompletnog sustava matematike koji je daleko sustavniji od modernog «sustava», kako kaže Jain. Vedska matematika pokazuje povezanost i ujedinjenu strukturu matematike, dodaje on, a metode su komplementarne, izravne i lake. Jednostavnost vedske matematike znači da se računanja mogu obavljati mentalno (iako se metode također mogu i zapisivati). Korištenje fleksibilnog, mentalnog sustava ima mnoge prednosti, recimo, učenici mogu izmišljati vlastite metode, nisu ograničeni na jednu «ispravnu» metodu, pa to stvara kreativnije, zainteresirane i inteligentne učenike.

                                                                             ZNANSTVENICI ISMIJAVALI GANITA SUTRE 

Bharati Krsna je rekao da su početkom 20. stoljeća, dok je u Europi vladalo veliko zanimanje za sanskrtske tekstove, neki znanstvenici ismijali određene tekstove pod nazivom Ganita sutre – što znači «matematika». U prijevodu nisu mogli pronaći nikakvu matematiku pa su tekstove odbacili kao gluposti. Sutre dosta zvuče kriptično: „Sa jedan više od prethodnog“, “Sve od 9 i posljednje od 10“, „Okomito i poprijeko“, „Preokreni i primijeni“, „Ako je Samuccaya jednaka, onda je nula“, „Ako je u omjeru jedan, drugo je nula“, „Dodavanjem i oduzimanjem“, „Po završetku ili ne-završetku“, „Diferencijalni račun“, „Po nedostatku“, „Specifično i opće“, „Ostatak kod posljednje znamenke“, „Posljednje i dvaput pretposljednje“, „Sa jedan manje od prethodnog“, „Umnožak zbroja“, „Svi množitelji“…

Međutim, Bharati Krsna, koji se i sam bavio sanskrtom, matematikom, poviješću i filozofijom, proučio je ove tekstove i nakon dugog i pažljivog istraživanja uspio je rekonstruirati matematiku Veda. Prema njegovom istraživanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izraženih riječima.

Bharati Krsna napisao je šesnaest knjiga u kojima je izložio vedski sustav, ali one su kasnije izgubljene bez traga. Kad je nestanak knjiga potvrđen, u posljednjim godinama života napisao je samo jednu knjigu, «Vedic Mathematics» (Vedska matematika). Objavljena je 1965, pet godina nakon njegove smrti i još uvijek se može nabaviti.

Jedan primjerak knjige donesen je u London nekoliko godina kasnije. Za nju su se zainteresirali neki engleski matematičari (Kenneth Williams, Andrew Nicholas, Jeremy Pickles). Proširili su uvodni materijal iznesen u knjizi Bharata Krsne i održali brojne tečajeve i predavanja u Londonu. Knjiga (više nije dostupna) «Introductory Lectures on Vedic Mathematics» (Uvodna predavanja o vedskoj matematici), objavljena je 1981. godine.

Između 1981. i 1987. Andrew Nicholas putovao je u Indiju četiri puta, u početku želeći doznati što je još poznato o vedskoj matematici. Ta putovanja potaknula su ponovno buđenje zanimanja među indijskim znanstvenicima i učiteljima. Čini se da su, vidjevši da neki ljudi na Zapadu vedsku matematiku uzimaju za ozbiljno, shvatili da imaju nešto posebno. Škola St. James, tada u Queensgateu u Londonu, a i druge škole, počele su predavati vedski sustav i to sa zamjetnim uspjehom. Danas se vedska matematika predaje u školama širom Indije i provodi se velik broj istraživanja. Tri knjige pojavile su se 1984, na stogodišnjicu rođenja Sri Bharati Krsna Tirthajija (objavila ih je Grupa za istraživanje vedske matematike, tog mentalnog, jednorednog drevnog sustava), a danas ih se već može naći dosta na internetu.

                                                                                      NULU I ZAREZ OTKRILI HINDUISTI

Dar koji su hinduisti poklonili svijetu prije više tisuća godina, i koji se trenutno koristi u našoj globalnoj tehnologiji silicijskih čipova, bio je ništa drugo nego otkriće nule i upotreba decimalnog zareza, kaže Jain. Naše obične brojeve zovemo «arapski brojevi», ali oni zapravo potječu još od hinduističke koncepcije stvaranja i ništavila poznate kao Bindu ili «Nulta točka». Sva vedska matematika temelji se na razumijevanju svijesti Jednog, što znači korištenje brojevnih baza koje odgovaraju: 0,  10,  100,  1 000, 10 000, itd, koje se sve temelje na 1.

Postoji 16 sutri, ili jednostavnih sanskrtskih formula izraženih riječima, koje, kako kaže Jain,  rješavaju sve poznate matematičke probleme u granama aritmetike, algebre, geometrije i diferencijalnog računa,a  lako su razumljive, lako primjenjive i lako pamtljive. Nakon što ih se uputi u ova vedska pravila, učenici svih uzrasta skloniji su cijeniti i uživati u poboljšavanju matematike, što sam i sam imao prilike vidjeti na nekoliko primjera. Dugo izgubljena, vedska matematika je ranije bila riznica inteligentnog matematičkog znanja i trebala bi biti lako dostupna svakom tko ju želi usvojiti i imati koristi od nje, a vedski matematičar također je bio astronom, inženjer, glazbenik, liječnik i pjesnik. Graditelj hrama nije imao olovku ni papir; jednostavno je računao u glavi. Dakle, nalazite se na terenu i trebati popločati pod koji ima 98 jedinica na kvadrat. Kako ćete to izračunati s takvom mentalnom lakoćom? Pogledajmo neke praktične primjere.

KVADRIRANJE BROJEVA KOJI SU BLIZU BAZE

Da bismo dobili kvadrat broja 98 (98 x 98, ili 982), moramo prvo utvrditi u kojoj smo bazi. Broj je blizu 100, pa kažemo da je baza 100. Sada moramo izabrati jednu od 16 glavnih sutri kako bismo riješili problem. Ona koju ovdje treba primijeniti zove se «Po nedostatku – koliki je nedostatak, umanji ga za još toliko i dopiši kvadrat od toga.» Zvuči kriptično i besmisleno, pa ipak, brzo rješava problem.

Odgovor ćemo dobiti jednostavno utvrdivši za koliko je 98 manji od 100. Znajući da je manjak 2, samo umanjimo 98 za 2 i dopišemo kvadriranje te dvojke. Kao jednoredan odgovor, to bi izgledalo ovako:

98 na kvadrat = 98 – 2 / 2 x 2

Ili pojednostavljeno:                                 =  96  / _4

Skoro imamo odgovor. Moramo znati da, budući da je baza 100, ona ima dvije nule; stoga, ta činjenica nalaže potrebu za dva mjesta za dvije nule ili znamenke nakon kose crte (/). Ubacivanjem ili izmišljanjem nule kao «oznake mjesta», dobivamo odgovor:

 98 na kvadrat = 96  /  04

                     =   9604

Pogledajmo slične primjere:

97 na kvadrat = 97 – 3 / 3 x 3

              = 94 / 09

             =   9409

96 na kvadrat = 96 – 4 / 4 x 4

              = 92 / 16

             =   9216

Kada je broj koji se kvadrira veći od baze – u ovom slučaju od 100 – dodajemo višak i kvadriramo višak:

104 x 104 = 104 + 4 / 4 x 4 = 108 / 16 = 10 816

104 x 105 = 104 + 5 / 4 x 5 = 109 / 20 = 10 920

Što ako povećamo naše brojeve do 998 na kvadrat? To je blizu 1000, pa kažemo da je baza 1 000 i znamo da moramo imati tri mjesta (za nule ili znamenke) na desnoj strani od (/).

998 na kvadrat = 998 – 2 / 2 x 2

                   = 996  / _ _ 4

                = 996 / 004

              = 996 004

Shvativši ovo, možemo računati s milijunima:

9998 na kvadrat = 9998 – 2 / 2 x 2

                        = 9996 / _ _ _ 4

Budući da smo u bazi 10 000, četiri nule određuju potrebu za četiri mjesta (nule ili znamenke) nakon (/):

 = 9996 / 0004

= 99 960 004

"VREĆA TRIKOVA" ILI "KOZMIČKI KOMPJUTER"?

Trenutno postoji debata o djelotvornosti vedske matematike nasuprot  temeljima zapadne matematike. Teoremi koji se uče nisu pogrešni, ali mogu biti nespretni, kaže Jain, te dodaje da su neke od zapadnih geometrijskih formula svakako neprikladne. Na primjer, formule za pakiranje sfera u višim dimenzijama povećavaju se do šeste dimenzije, a onda se jednostavno smanjuju za više dimenzije, što je jednostavno apsurdno, nastavlja Jain. Kaže i da danas postoje matematičari koji vedsku matematiku ismijavaju kao «vreću trikova», no da se nada da će se većim udubljivanjem u tu materiju stvari početi mijenjati.

Kada je Maharishi Mahesh Yogi 1988. počeo objašnjavati važnost i  kvalitete vedske matematike, Maharishijeve škole širom svijeta počele su ju predavati. U školi u Skelmersdaleu (Lancashire, Velika Britanija) predavao se pravi pokusni školski predmet pod nazivom «Kozmički kompjuter» za učenike od 11 do 14 godina. Maharishi je rekao da su sutre vedske matematike softver kozmičkog kompjutera koji upravlja cijelim svemirom na svakoj razini i u svakom detalju. «Kada vide kako ovakvo računanje izvode mala djeca, doktori, profesori i ostali 'autoriteti' s područja matematike ostaju zapanjeni od čuđenja i kažu: 'Je li to matematika ili magija?' A mi uvijek odgovaramo i kažemo: 'I jedno i drugo. To je magija dok ju ne shvatite, a nakon toga je matematika...'», rekao je Bharati Krsna Tirthaji (1884–1960), ponovni otkrivač vedske matematike.

VEDSKO NUMERIČKO KODIRANO ZNANJE

Čini se da su vedski matematičari imali i druge domišljate načine pamćenja. Recimo,  dugi decimalni oblik broja Pi su – pjevali.

U drevnoj Indiji bio je običaj pjevati pjesme kako bi se zapamtile duge decimale. Brahmani iz učenjačke kaste, skloni skrivanju svojih znanja, zvučno su šifrirali matematičke formule u svoje pobožne hvalospjeve i pjesme Krišni i također su bilježili povijesne podatke u šifriranim pjesmama. Sustav ima određene sličnosti s numerologijom, u kojoj se vrijednostima brojeva pridružuju suglasnici (kao u A = 1, B = 2, C = 3, D = 4), ali vedski numerički kod bio je tako sofisticiran u sanskrtu da je imao tri razine, i stoga trostruko značenje.

Pokazalo se da je decimalni oblik transcendentnog broja,

Pi = 3,1415926535897932384626433832792...

bio skriven ili kodiran u slogovima sljedećeg napjeva:

Gopi Bhagyamaduv rata

Shringishodadi Sandiga

Kala Jeevitarva Tava

Galladhalara Sangara

Prvi red, go = 3, pi = 1, bha = 4, ya = 1, ma = 5, dhu = 9, ra = 2, ta = 6, itd., daje prvih osam znamenki broja pi (π), omjer opsega kruga i njegovog promjera.

Ne samo što kod skriva Pi do 32. decimalnog mjesta, nego je postojao i tajni Univerzalni Ključ unutar strukture ovih 32 mjesta koji je mogao otključati sljedeće 32 decimale broja pi, i tako dalje – ključ za beskonačnost. Kod ne samo što je slavio Krišnu, nego je djelovao na još jednoj razini kao posveta Shankari (oko 800. po Kr. Shankara je bio glasoviti ačarija ili učitelj, koji je utemeljio četiri samostanska reda. Znao je čitati s dvije godine, a do osme godine proučio je Vede. Napisao je učene komentare na Bhagavad-Gitu i Upanishade, koji su doveli do slabljenja budizma u Indiji. Smatran je djelomičnom inkarnacijom avatara Šive.)

Što se mene tiče, dopalo bi mi se da moja djeca u školi uz postojeći program matematike, uče i bar nekoliko prečica koje nudi vedska matematika. U par navrata, kad sam njima, a i drugim klincima, pokazivao te „trikove“ (bar onih par jednostavnijih koje sam u tom trenutku znao), interes je bez iznimke bio ogroman. Svatko je odmah htio probati (i mogao je), odmah je htio naučiti (i mogao je) i svatko od njih se osjećao vrlo dobro i moćno zbog činjenice da u glavi može kvadrirati četveroznamenkaste brojeve i tako impresionirati okolinu. Svakako, bili su to zanimljivi trenuci kad je matematika postajala zabava, a mozak vježbao vizualizaciju. Kad bi se krenulo tim putom, možda više ne bi bilo aforizama poput onoga koji je 1992. rekao Robert Kiyosaki, autor knjige «Želite li biti bogati i sretni, nemojte ići u školu»: „Kada gledam dijete koje prolazi kroz naš obrazovni sustav, to je kao da gledam obrnutu metamorfozu: uleti divan leptir, a izgmiže gusjenica.“

Za kraj, na linku http://www.youtube.com/watch?v=ODI0Zg7Zs8Y možete pogledati nekoliko demonstracija koje je u razgovoru sa mnom pokazao Jain, a u nastavku evo još nekoliko primjera vedske matematike kojima možete impresionirati susjede.

1.KVADRIRANJE BROJEVA KOJI ZAVRŠAVAJU NA 5

Ako bismo htjeli kvadrirati broj 25, tj. pomnožiti 25 sa 25, konvencionalno bi nam trebala tri reda računanja. Vedska matematika samo pogleda pitanje, primjeni jednu od 16 sutri i mentalno ga riješi u jednom redu. U ovom slučaju, sutra koju treba upotrijebiti je «Sa jedan više od prethodnog», to jest, od prethodne znamenke.

25 je dvoznamenkasti broj, a posljednja znamenka 5, ali najviše nas zanima «prethodna znamenka», koja je 2. Mentalno kažemo, «Koliko je jedan više od dva? To je tri.» Riječ «sa» u sutrama zapravo znači «pomnožiti». Prva polovina odgovora na papiru izgleda ovako:

25 na kvadrat = 2 «sa» 3 / ...

                  = 2 x 3 / ...

Ovome dopišemo posljednju znamenku «5», kvadriranu:

   = 2 x 3 / 5 x 5

  =      6   /   25

=          625

Slično tome, kvadrat svih drugih brojeva koji završavaju na 5 može se izračunati trenutno:

15 na kvadrat = 1 x 2 / 5 x 5 =  2  /  25  =   225

35 na kvadrat = 3 x 4 / 5 x 5 = 12  /  25  =  1 225

45 na kvadrat = 4 x 5 / 5 x 5 = 20  /  25  =  2 025

95 na kvadrat = 9 x 10 / 5 x 5 =  90  /  25  =  9 025

2.SUTRA: «OKOMITO I POPRIJEKO»

Evo još jedne jednostavne sutre (one koju Bharati Krsna Tirthaji opisuje kao najčešće korištenu) zvane «Okomito i poprijeko». Ona rješava množenja primjenom obrasca, što desni mozak registrira kao matematiku ženske prirode (nasuprot logičkom, muškom, stilu matematike koji koristi lijevi mozak i općenito se predaje u školama).

          Postavimo stvar ovako:

   26

x 31

Obratite pažnju na činjenicu da su uključene četiri znamenke. Riječ je o  «unakrsnom zbrajanje». Lijeva i desna brojka budućeg rezultata dobiju se okomitim množenjem, a srednja brojka dijagonalnim množenje znamenki. Oba umnoška se zbroje. I taj se broj stavlja u sredinu između znamenki. Slijedi još jedna radnja i imate rezultat. Evo redoslijeda:  

(Ispod, malo slovo «x» označava množenje.)

=  2 x 3 /  (2 x 1) + (6 x 3) /   6 x 1

 =    6  /  20 /  6 

 (Sada se «2» se prebacuje i pribrojava lijevoj strani gdje se nalazi 6)

=        8  /    0  /      6

=         806     

(Isto tako, ako na desnoj strani imate dvoznamenkasti broj, lijevu znamenku pribrojite srednjem broju – nakon što ste lijevu znamenku srednjeg broja pribrojili desnom broju. Primjer:

   42

X 25 ide ovako:

4x2 / (4x5) + (2x2) /2x5

8/ 24/ 10

8+2 / 4+1/ 0

=10/5/0

=1050

Pokušajte i sami izabrati par dvoznamenkastih broji i bit će vam sve jasno čim prvi put sami izvedete operaciju - ja sam se time zabavljao sat vremena.

3 SUTRA: ZBRAJANJE ZNAMENKI ZA MNOŽENJE S JEDANAEST

«Kompresija znamenki» (ili «Ako je Samuccaya jednaka, onda je nula») je sutra koja rješava množenje s jedanaest. Ako želimo pomnožiti 25 sa 11, jednostavno zbrojimo dvije znamenke broja 25 i kažemo «2 + 5», što daje 7, i ubacimo tu znamenku između ostale dvije znamenke. Odgovor je tako 275.

Drugi način da se to prikaže je da se dvije znamenke razdvoje i ubaci njihov zbroj znamenki:

25 x 11  =   2   (2 + 5)   5

              =   2        7       5

       =          275

U ovom primjeru, «1» iz «12» prebacuje se na lijevu stranu

39 x 11  =   3   (3 + 9)   9

              =   3       12      9

       =          429

Sretno vam bilo!

         

 

Komentari 8

ostavi komentar

Ostavi komentar

Pravila komentarisanja sadržaja Portala RTCG
Poštujući načelo demokratičnosti, kao i pravo građana da slobodno i kritički iznose mišljenje o pojavama, procesima, događajima i ličnostima, u cilju razvijanja kulture javnog dijaloga, na Portalu nijesu dozvoljeni komentari koji vrijeđaju dostojanstvo ličnosti ili sadrže prijetnje, govor mržnje, neprovjerene optužbe, kao i rasističke poruke. Nijesu dozvoljeni ni komentari kojima se narušava nacionalna, vjerska i rodna ravnopravnost ili podstiče mržnja prema LGBT populaciji. Neće biti objavljeni ni komentari pisani velikim slovima i obimni "copy/paste" sadrzaji knjiga i publikacija.Zadržavamo pravo kraćenja komentara.

Da biste komentarisali vijesti pod vašim imenom

Ulogujte se

Novo